fyrir
The preposition fyrir can take either the accusative or dative. The rules for when it governs what case are particular to this preposition and are not related to movement or a lack of movement.
Accusative
Time expressions
Fyrir governs the accusative in expressions of time when it means “before”:
Þau ætla að kaupa nýja íbúð fyrir jól.
Ljósið er fallegast rétt fyrir sólsetur.
When it means “ago”, it governs the dative.
Fyrir doesn’t mean “for” in time expressions. Instead, use í (+acc.), e.g. ég vann í skóbúð í þrjú ár “I worked in a shoe shop for three years”.
Intention or effect
When talking about who or what something is intended for, or the effect that one thing has on another, fyrir takes the accusative:
Þessi sjónvarpsþáttur er fyrir litla krakka.
Ég keypti blóm fyrir þig!
Þetta eru slæmar fréttir fyrir Ísland.
Er landbúnaður er ekki góður fyrir umhverfið?
In this sense, fyrir can sometimes mean “on behalf of”.
Cause
When fyrir explains the cause of something, it governs the accusative:
Fannstu þessa peninga fyrir algjöra tilviljun?
Exchange
When fyrir expresses that one thing is exchanged for another, it governs the accusative:
Vélvirkinn skipti gömlu dekkjunum út fyrir ný dekk.
Hann ætlar að fá gott verð fyrir húsið.
Ég borgaði tíu þúsund krónur fyrir eitt herbergi.
Dative
Time expressions
Fyrir governs the dative in expressions of time when it means “ago”:
Georg flutti suður fyrir tíu árum.
Ég henti gömlu skónum mínum fyrir löngu síðan.
It’s sometimes accompanied by síðan after the noun in this meaning, although this is optional.
Obstructions
When used to indicate that something is an obstruction, fyrir governs the dative. It can be a physical obstruction or an abstract one:
Fyrirgefðu, er ég fyrir þér?
Ég kemst ekki í kassann, það er eitthvað fyrir honum.
Við heyrðum ekki tónleikana fyrir öllum hávaðanum.
Leadership
When used to express that someone is at the top or front of an organisation, fyrir governs the dative:
Stjórnmálamaðurinn er fyrir flokknum.